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動(dòng)態(tài)元件組成的 動(dòng)態(tài)電路及初始狀態(tài)

一、動(dòng)態(tài)電路
 

動(dòng)態(tài)電路（ dynamic circuits ）

動(dòng)態(tài)元件具有動(dòng)態(tài)性、記憶性和儲(chǔ)能性等特點(diǎn)，含有動(dòng)態(tài)元件的電路叫動(dòng)態(tài)電路。

含有一個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的電路稱為一階動(dòng)態(tài)元件，電路方程是一階微分方程；含有兩個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的電路稱為二階動(dòng)態(tài)元件，電路方程是二階微分方程。

圖 5.2-1 所示電路中， LP1 、 LP2 和 LP3 是三個(gè)白熾燈，它們分別與電阻 R 、電容 C 和電感 L 相串聯(lián)，并通過(guò)開關(guān) S 接到直流電壓源 Us 上，開關(guān) S 閉合之前，三個(gè)燈泡都不亮。

t=0 時(shí)開關(guān) K 閉合，觀察現(xiàn)象

1 、與電阻 R 串聯(lián)的燈泡 LP1 立即發(fā)光，且亮度始終保持不變；

2 、與電感 L 串聯(lián)的燈泡 LP2 開始并不發(fā)光，過(guò)一會(huì)才慢慢變亮，直至亮度達(dá)到最亮，且一直保持不變；

3 、與電容 C 串聯(lián)的燈泡 LP3 立即發(fā)光，但稍后開始慢慢變暗，直至最后熄滅。

二、初始狀態(tài)

1 、換路定則
 

換 路（ switching ）

動(dòng)態(tài)電路中，把某一時(shí)刻電源或無(wú)源元件的接入、斷開、某些支路的短路或開路及某些元件參數(shù)的改變稱為電路換路，而且認(rèn)為換路是在即刻完成的。

電路換路，使得電路改變?cè)瓉?lái)的穩(wěn)定狀態(tài)，進(jìn)入暫態(tài)（ transient state ）過(guò)程或過(guò)渡過(guò)程。當(dāng)暫態(tài)過(guò)程結(jié)束后，電路又會(huì)達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài)（ steady state ）。

換路定則

電容電壓在換路瞬間不能躍變

電感電流在換路瞬間不能躍變

是換路前的一瞬間， 是換路后的一瞬間。

注 意

電路中其它響應(yīng)，如電容電流 、電感電壓 、電阻電壓 、電阻電流 等，都不受換路定則的約束，都有可能發(fā)生躍變。

2 、初始值的計(jì)算
 

初始值的計(jì)算步驟

1 、畫出 t=0 －時(shí)刻的等效電路，此時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)。對(duì)于直流激勵(lì)，將電容視為開路，將電感視為短路，求出 和 。

2 、由換路定則求 t=0 ＋時(shí)刻的電路初始狀態(tài)，

3 、根據(jù)替代定理，用電壓為 的電壓源和電流為 的電流源替代電路中的電容和電感，作出 t=0 ＋時(shí)刻的等效電路，再按直流電阻電路的計(jì)算方法求出其它響應(yīng)的初始值。

例 5.2-1 圖 5.2-2 （ a ）所示電路中，已知 時(shí)開關(guān) S 處于斷開狀態(tài)，且電路已處于穩(wěn)態(tài)。 t=0 時(shí)刻開關(guān) S 閉合，求 t=0 ＋時(shí)刻的 、 、 、 、 。

解： 1. 時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，由于 12V 直流電壓源激勵(lì)，根據(jù)電容、電感的性質(zhì)，可將電容視為開路，將電感視為短路，且開關(guān) S 斷開，作出 t=0 －時(shí)刻的等效電路，如圖 5.2-2 （ b ）所示。由圖 5.2-2 （ b ）可知，

2 ．由換路定則得，

3 ． t=0 ＋時(shí)刻，由替代定理，用 4V 電壓源替代電容 C ，用 1A 的電流源替代電感 L ，且此時(shí)開關(guān) S 閉合，得 t=0 ＋時(shí)刻的等效電路，如圖 5.2-2 （ c ）所示。

由圖 5.2-2 （ c ）得

又

則

所以，各初始值為

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采用“三要素法"分析一階電路，可以省去建立和求解微分方程的復(fù)雜過(guò)程，使電路分析更為方便和高效。

適用于直流激勵(lì)一階電路的三要素法

     我們?nèi)砸院?jiǎn)單一階 RC 電路為出發(fā)點(diǎn)。 圖1 所示 RC 電路的全響應(yīng)結(jié)果如下：

圖 1 一階RC電路圖

                   ( 1 )

             ( 2 )

由 圖1 容易知道，電容電壓 的初值為 ，電容電壓的終值為 ；而電流 的初值為 ，電流 的終值為 。

觀察式 ( 1 ) 、式 (2) 可見，一階電路中任意電路變量的全響應(yīng)具有如下的統(tǒng)一形式：

        ( 3 )

可見，為求解一階電路中任一電路變量的全響應(yīng)，我們僅須知道 三個(gè)要素 ：電路變量的 初值 、電路變量的 終值 以及一階電路的 時(shí)間常數(shù) 。我們稱式 ( 6-5-3 ) 為一階電路分析的 三要素法 。三要素法同樣適用于一階 RL 電路，但是二階以上動(dòng)態(tài)電路不可采用此法。

推廣的三要素法

    在前面分析一階電路時(shí)，我們采用的獨(dú)立源具有共同的特點(diǎn)，即所有獨(dú)立源均為直流（直流電壓源或直流電流源）。對(duì)于直流激勵(lì)電路，換路前電路變量為穩(wěn)定的直流量，換路后經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，電路變量過(guò)渡到另外一個(gè)穩(wěn)定的直流量。我們?nèi)菀赘鶕?jù)電路的原始狀態(tài)和電路結(jié)構(gòu)確定電路變量的 初值f(0+)、電路變量的 終值 f(∞)以及一階電路的 時(shí)間常數(shù) 。如果電路中激勵(lì)源不是直流，而是符合一定變化規(guī)律的交流量（如正弦交流信號(hào)），則換路后電路經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程再次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，此時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不再是直流形式，而依賴于激勵(lì)源的信號(hào)形式（如正弦交流信號(hào)）。此時(shí)，我們無(wú)法確定電路變量的 終值f(∞),故無(wú)法采用式 ( 3 ) “三要素法 " 確定一階電路全響應(yīng)。對(duì)于這類一階電路，我們可以采用推廣的三要素法：

                  〔 4 )

式中， 為全響應(yīng)的 初值 、 為電路的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 、τ為電路的 時(shí)間常數(shù) ，稱為一階線性電路全響應(yīng)的 三要素 ， 為全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解的初始值。

“三要素"的計(jì)算與應(yīng)用

     利用三要素法分析一階電路的全響應(yīng)時(shí)，必須首先計(jì)算出電路變量的 初值、電路變量的 終值 以及一階電路的 時(shí)間常數(shù) 。。假設(shè)激

勵(lì)源為直流電壓源或電流源。

•  初值 f(0+) 的計(jì)算

   換路前，一般認(rèn)為電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。根據(jù)電路結(jié)構(gòu)以及元件屬性，我們不難確定動(dòng)態(tài)元件的原始狀態(tài)（電容元件的電壓 或電感元件的電流 ）。在有限激勵(lì)的作用下，電容元件的電壓或電感元件的電流不會(huì)發(fā)生突變。因此，在 時(shí)刻，電容元件的電壓 或電感元件的電流 維持原始狀態(tài)不變。我們可以用一個(gè)電壓源 取代電容元件，或用一個(gè)電流源 取代電感元件。此時(shí)，電路被轉(zhuǎn)換成電阻電路，借助于電阻電路的支路分析法、回路分析法、結(jié)點(diǎn)分析法、戴定理等即可計(jì)算出響應(yīng)信號(hào)的初值 。

•  終值 f(∞)的計(jì)算

   換路后，動(dòng)態(tài)電路經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，再次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。在直流激勵(lì)情況下， t=∞時(shí)，電容電壓和電感電流維持某個(gè)不變的取值。電容元件電流為 0 ，可以用開路元件取代，電感元件電壓為零，可以用短路元件取代。與初值計(jì)算相似，電路被轉(zhuǎn)換成電阻電路，借助于電阻電路的分析方法即可計(jì)算出響應(yīng)信號(hào)的終值 f(∞)。

•  時(shí)間常數(shù) τ的計(jì)算

    實(shí)際的一階電路可能元件數(shù)量較大，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，電路中包含多個(gè)電阻元件、獨(dú)立源、受控源和多個(gè)電容或電感。若電路滿足一階電路的條件，則其中的電容元件或電感元件之間必有強(qiáng)烈的相關(guān)性，表現(xiàn)在電路連接上為串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)關(guān)系。此時(shí)，換路后的電路模型可以看作由為某個(gè)電容網(wǎng)絡(luò)或電感網(wǎng)絡(luò)與一個(gè)含源電阻網(wǎng)絡(luò)相連組成，如圖2 （ a ）所示。對(duì)電路中電容網(wǎng)絡(luò)或電感網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行串、并聯(lián)計(jì)算，得到一個(gè)等效電容 C eq 或一個(gè)等效電感Leq ，將含源電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行諾頓等效或戴等效，得到圖2 （ b ）所示等效一階電路。則一階電路的時(shí)間常數(shù)τ 可計(jì)算如下：

    或                           〔5 )

（ a ）電路模型分解         （ b ）等效電路

圖2 一階電路的電路模型分解與等效