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替代定理（substitution theorem ）

如果已知電路中第 k 條支路的電壓 uk 和電流 ik ，那么無(wú)論該條支路是由何種元件構(gòu)成的，它都可以用電壓等于 uk 的理想電壓源或電流等于 ik 的理想電流源去替代，替代之后，電路中其他支路的電壓和電流均不變。

推 論：如果第 k 條支路的電壓 uk 等于 0 ，那么該支路可用一條短路線去替代；如果第 k 條支路的電流 ik 等于 0 ，那么該支路可用一對(duì)斷開的節(jié)點(diǎn)去替代。

例 4.2-1 圖 4.2-2 （ a ）所示電路為電橋電路，當(dāng)通過(guò)電阻 Rg 的電流 Ig=0 時(shí)，電橋達(dá)到平衡。 Us=4.5V ， R1=1K Ω， R2=10K Ω， R3 為可變電阻， R4 為被測(cè)電阻，現(xiàn)調(diào)節(jié)電阻 R3 ，當(dāng) R3=0.5K Ω時(shí) , 電橋達(dá)到平衡。求被測(cè)電阻 R4 及電壓源供出的電流 I 。

解：當(dāng)電橋平衡時(shí)， ，則 Rg 電阻上的電壓 。由于 ，根據(jù)替代定理， ab 支路可用一條短路線替代，如圖 4.2-2 （ b ）所示。顯然，

，

即

又由于 ，根據(jù)替代定理， ab 支路可用一對(duì)斷開的節(jié)點(diǎn)替代，如圖 4.2-2 （ c ）所示。則

所以，

上面兩式相除，得

因此，被測(cè)電阻為

再由圖 4.2-2 （ b ），得電橋平衡時(shí)， c 、 d 兩端的等效電阻為

Rcd= （ R1 ∥ R2 ） + （ R3 ∥ R4 ） = （ 1K ∥ 10K ） + （ 0.5K ∥ 5K ） =1.364K Ω

所以，平衡時(shí)電壓源供出的電流

注 意：替代定理對(duì)于線性電路和非線性電路都是成立的

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一階電路零輸入響應(yīng)的計(jì)算
 

計(jì)算步驟

1 、畫出 時(shí)刻的等效電路。這時(shí)電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在直流激勵(lì)作用時(shí)，將電容當(dāng)作開路，將電感當(dāng)作短路，求出 或 ，并根據(jù)換路定則，求得電路的初始狀態(tài)。若需要計(jì)算電路中其它響應(yīng)，再根據(jù)初始狀態(tài)計(jì)算這些響應(yīng)的初始值。

2 、求電路的時(shí)間常數(shù)τ。對(duì)于 RC 電路， ，對(duì)于 RL 電路， 。其中， R 為從電容 C 或電感 L 兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻。

3 、求出零輸入響應(yīng) 

例 5.3-1 圖 5.3-5 （ a ）所示電路中，開關(guān)原來(lái)處于位置 1 ，且電路已處于穩(wěn)態(tài)， t=0 時(shí)刻開關(guān) S 撥到位置 2 ，求 時(shí)的 ， 和 。

解： 1. 求初始值 ， 和 

作出電路換路前 時(shí)刻的等效電路，如圖 5.3-5 （ b ）所示，這時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路，并由換路定則得

時(shí)刻的等效電路如圖 5.3-5 （ c ）所示，兩個(gè) 100 K Ω的電阻并聯(lián)，所以

2 ．求時(shí)間常數(shù)τ

圖 5.3-5 （ c ）電路中無(wú)外加激勵(lì)，只有電容的初始電壓通過(guò)兩個(gè)電阻放電，因此，產(chǎn)生的響應(yīng)為零輸入響應(yīng)。這時(shí)，從電容兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻是兩個(gè) 100 K Ω的電阻并聯(lián)，所以R=100K ∥ 100K=50K Ω

則時(shí)間常數(shù)為

3 ．電路換路后 時(shí)的響應(yīng)為

一、網(wǎng)孔電流方程

出發(fā)點(diǎn)
進(jìn)一步減少方程數(shù)，用未知的網(wǎng)孔電流代替未知的支路電流來(lái)建立方程。

圖3.3-1所示電路，共有n=4個(gè)節(jié)點(diǎn)，b=6條支路（把電壓源和電阻串聯(lián)的電路看成一條支路）。顯然，獨(dú)立的網(wǎng)孔數(shù)為b－n＋1=3個(gè)。

1、網(wǎng)孔電流

設(shè)想每個(gè)網(wǎng)孔中有一個(gè)假想的電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各條支路循環(huán)流動(dòng)，把這一假想的電流稱為網(wǎng)孔電流（mesh current），如圖3.3-1中的分別表示網(wǎng)孔a、b、c的網(wǎng)孔電流。電路中各支路電流就可以用網(wǎng)孔電流表示

結(jié) 論：用3個(gè)網(wǎng)孔電流表示了6個(gè)支路電流。進(jìn)一步減少了方程數(shù)。

2、網(wǎng)孔電流方程

根據(jù)KVL，可得圖3.3-1電路的網(wǎng)孔電流方程

自電阻（self resistance）是各網(wǎng)孔中所有支路電阻之和，互電阻（mutual resistance）是兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔之間的共有電阻。第二項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)由相鄰網(wǎng)孔電流與本網(wǎng)孔電流在互電阻上流過(guò)的方向是否一致來(lái)決定，若一致取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。

網(wǎng)孔電流法分析電路的一般步驟
確定電路中的網(wǎng)孔數(shù)，并設(shè)定各網(wǎng)孔電流的符號(hào)及方向。按常規(guī)，網(wǎng)孔電流都取順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较颉Ａ袑懢W(wǎng)孔電流方程，并求解方程，求得各網(wǎng)孔電流。由求得的網(wǎng)孔電流，再求其他的電路變量，如支路電流、電壓等。

例3.3-1 圖3.3-1所示電路中，已知us1=21V，us2=14V，us3=6V，us4=us5=2V，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，R5=6Ω，R6=2Ω，求各支路電流。

解：1. 電路的網(wǎng)孔為3個(gè)。設(shè)定3個(gè)網(wǎng)孔電流的符號(hào)及方向如圖3.3-1所示。
2．列寫網(wǎng)孔方程
網(wǎng)孔a： 
網(wǎng)孔b： 
網(wǎng)孔c： 
代入?yún)?shù)，并整理，得

解得網(wǎng)孔電流為： 
3．由網(wǎng)孔電流求各支路電流

2、全歐姆定律
只有一個(gè)網(wǎng)孔的電路，稱為單回路電路（single loop circuit）。對(duì)于單回路電路，有全歐姆定律。
全歐姆定律：對(duì)于單回路電路，回路電流i等于沿回路電流方向的所有電壓源的電壓升的代數(shù)和除以回路中所有電阻之和。

二、含有電流源的電路

1、有伴電流源

結(jié) 論：如果電路中的電流源是有伴電流源，將有伴電流源等效成有伴電壓源。

方法一 把電流源當(dāng)電壓源處理
設(shè)定電流源兩端的電壓，列寫網(wǎng)孔方程，利用電流源的電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系再補(bǔ)充一個(gè)方程。

2、無(wú)伴電流源
電流源處于邊界支路上
結(jié) 論：電流源所在網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流即為電流源的電流，因此可以少列一個(gè)網(wǎng)孔方程。

例3.3-2 圖3.3-2所示電路中，試用網(wǎng)孔電流法求流過(guò)3Ω電阻的電流I1。

解：電路中含有一個(gè)2A電流源，處于網(wǎng)孔a的邊界支路上。取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)楦骶W(wǎng)孔電流的方向，則
 （1）
因此，只需列寫兩個(gè)網(wǎng)孔方程，
網(wǎng)孔b：  （2）
網(wǎng)孔c：  （3）
經(jīng)整理后，得

解得網(wǎng)孔電流為： 
所以，流過(guò)3Ω電阻的電流為

2）電流源處于相鄰網(wǎng)孔的公共支路上

例3.3-3 電路如圖3.3-3所示，試用網(wǎng)孔電流法求各網(wǎng)孔電流。

解：電路中的1A電流源處于網(wǎng)孔a、b的公共支路上。設(shè)它的兩端電壓為U，并將它當(dāng)作電壓源看待，列寫網(wǎng)孔方程，
網(wǎng)孔a：  （1）
網(wǎng)孔b：  （2）
網(wǎng)孔c：  （3）
補(bǔ)充方程：  （4）
整理后得

解上述方程組，得網(wǎng)孔電流為

方法二 超網(wǎng)孔（super mesh）方法
把以電流源為公共支路的兩個(gè)網(wǎng)孔當(dāng)作一個(gè)超網(wǎng)孔處理，使電流源所在支路不出現(xiàn)在超網(wǎng)孔的支路中。
注 意：列寫超網(wǎng)孔方程時(shí)，由于電流源與1Ω電阻串聯(lián)的支路沒(méi)有出現(xiàn)在超網(wǎng)孔中，所以，這條電流源支路不應(yīng)計(jì)算進(jìn)去。

利用超網(wǎng)孔的方法計(jì)算例3.3-3。

對(duì)超網(wǎng)孔：  （1）
對(duì)網(wǎng)孔c：  （2）
補(bǔ)充方程：  （3）
整理后得，

解方程組，得網(wǎng)孔電流為

三、含有受控源電路
 

思 路：把受控源當(dāng)獨(dú)立源看待。當(dāng)然，如果受控源的控制量不是網(wǎng)孔電流，應(yīng)再補(bǔ)充一個(gè)能反映控制量與某網(wǎng)孔電流之間關(guān)系的方程式。

例3.3-4 電路如圖3.3-4所示，試網(wǎng)孔電流法求受控源發(fā)出的功率。

解：電路中有一個(gè)受控電流源，而且是無(wú)伴電流源，設(shè)其兩端電壓為U1，把它當(dāng)獨(dú)立的電壓源看待。
設(shè)3個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流分別為，其方向均為順時(shí)針?lè)较?，如圖3.3-5所示，列寫網(wǎng)孔方程，
網(wǎng)孔a：  （1）
網(wǎng)孔b：  （2）
網(wǎng)孔c：  （3）
補(bǔ)充方程：  （4）
 （5）
以上5個(gè)方程聯(lián)立求解，得


受控源的電流為 
所以，受控源發(fā)出功率為